מתמטריק
מכפלה עם הפרש ריבועיםאינדוקציה 571 · שיעור 9
אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 9: מכפלה עם הפרש ריבועים

פרק 2 – הוכחת נוסחה למכפלה
1נוסח השאלה
2הוכחה באינדוקציה
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
(1 − 122) · (1 − 132) · …
… · (1 − 1(n + 1)2)
= n + 22(n + 1)
הוכחה באינדוקציה
(1 − 122) · (1 − 132) · …
… · (1 − 1(n + 1)2)
= n + 22(n + 1)
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1
📐 אינדוקציה מתמטית
אגף שמאל:
1 − 14 = 34
אגף ימין:
1 + 22 · 2 = 34 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
📐 אינדוקציה מתמטית
1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי
הוכחה באינדוקציה · המשך
(1 − 122) · (1 − 132) · …
… · (1 − 1(n + 1)2)
= n + 22(n + 1)
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
(1 − 122) · … · (1 − 1(k + 1)2) = k + 22(k + 1)
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צ״ל: (1 − 122) · … · (1 − 1(k + 1)2) · (1 − 1(k + 2)2) = k + 32(k + 2)
נציב במקום (1 − 122) · … · (1 − 1(k + 1)2) את k + 22(k + 1):
📐 הנחת האינדוקציה
צ״ל: k + 22(k + 1) · (1 − 1(k + 2)2) = k + 32(k + 2)
📐 הנחת האינדוקציה
(1 − 122) · … · (1 − 1(k + 1)2) = k + 22(k + 1)
הוכחה באינדוקציה · המשך
(1 − 122) · (1 − 132) · …
… · (1 − 1(n + 1)2)
= n + 22(n + 1)
צ״ל: k + 22(k + 1) · (1 − 1(k + 2)2) = k + 32(k + 2)
בתוך הסוגריים נעשה מכנה משותף (k + 2)2:
📐 מכנה משותף
k + 22(k + 1) · (1 − 1(k + 2)2) = k + 22(k + 1) · [(k + 2)2(k + 2)2 − 1(k + 2)2]
= k + 22(k + 1) · (k + 2)2 − 1(k + 2)2
במונה יש הפרש ריבועים:
📐 הפרש ריבועים
(k + 2)2 − 12 = (k + 1)(k + 3)
= k + 22(k + 1) · (k + 1)(k + 3)(k + 2)2
📐 מכנה משותף
1 − 1b = bb − 1b = b − 1b
📐 הפרש ריבועים
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
הוכחה באינדוקציה · המשך
(1 − 122) · (1 − 132) · …
… · (1 − 1(n + 1)2)
= n + 22(n + 1)
= k + 22(k + 1) · (k + 1)(k + 3)(k + 2)2
נצמצם את (k + 1) ואת (k + 2):
= k + 32(k + 2) ✓
קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה
1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
📐 צעד ומסקנה
3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי
💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא